Bài 1: Cho a,b>0. Chứng minh $\sqrt[3]{\left(a b\right)\left(\frac{1}{a} \frac{1}{b}\right)}< \sqrt[3]{\frac{a}{b}} \sqrt[3]{\frac{b}{a}}$Bài 2: Cho a,b>0. Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{a}} \frac{1}{\...

HF

HD Film

21 tháng 10 2019

4b, $\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}$

$\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}$

Bài 1;Cho x,y thoã mãn 0<x<1 ; 0<y<1 và $\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1$tính P=$x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}$Bài 2 : Cho 3 số dương a,b,c thoã mãn $a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}$Bài 3 cho các số a,b,c,d dương thoã mãn $\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}$Chứng minh...

KL

Kamka Lanka

2 tháng 11 2017

1.Chứng minh $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}\ge\sqrt{y^2+yz+z^2}$2. Cho a,b,c>0. Chứng minh $\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\right)-\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\le6$3. Cho a,b>0 , n là số nguyên dương. Chứng minh $\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}\ge2\sqrt[n]{\frac{2}{a+b}}$4. Cho a,b,c >0. Chứng...

0

DT

Đinh Thị Ngọc Anh

9 tháng 10 2016

bài 1: Cho $a+b+c=0$Chứng minh đẳng thức $\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|$Bài 2: Cho $A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2006}}$$B=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2005}}$a, Rút gọ Ab, Chứng minh $B>2\left(\sqrt{2006}-1\right)$ Giúp mk vs ạ !!! Cô cho bài về để ôn thi...

0

NT

Nguyễn Thu Hà

11 tháng 12 2016

4

AN

alibaba nguyễn

11 tháng 12 2016

1/ $\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|$

$\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)$

$\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=0$

$\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{abc}=0$(đúng)

Vậy ta có ĐPCM

AN

alibaba nguyễn

11 tháng 12 2016

2/ $A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2006}}$

$=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2006}-\sqrt{2005}$

$=\sqrt{2006}-1$

Bài 1: Chứng Minh Rằng : $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}$= $\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$Bài 2: Rút gọn biểu thức: A= $\frac{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}-2}{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}+2}$( với a>2)B= $\sqrt{\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}}$(ab #...

C

Charlet

11 tháng 8 2017

1

NQ

Nguyễn Quốc Gia Huy

11 tháng 8 2017

Bài 1:

Ta có:

$\left(a-b+c\right)^3=a^3-b^3+c^3-3a^2b+3a^2c+3ab^2+3b^2c+3ac^2-3bc^2-6abc$

$\Rightarrow\left(\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\right)^3=\frac{1}{9}-\frac{2}{9}+\frac{4}{9}-\frac{1}{3}.\sqrt[3]{2}+\frac{1}{3}.\sqrt[3]{4}+\frac{1}{3}.\sqrt[3]{4}+\frac{2}{3}.\sqrt[3]{2}$

$+\frac{2}{3}.\sqrt[3]{2}-\frac{2}{3}.\sqrt[3]{4}-\frac{4}{3}=\sqrt[3]{2}-1$

$\Rightarrow\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

VT

Vũ Tiền Châu

4 tháng 8 2017

cho a,b,c >0 chứng minh rằng $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}>=\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^{ }}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

1

LV

Lầy Văn Lội

4 tháng 8 2017

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

cauchy-schwarz:

$VT=\frac{c^2}{ac^2+bc^2}+\frac{a^2}{a^2b+a^2c}+\frac{b^2}{b^2c+b^2a}+\frac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2abc}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

Bài tập 3* . Chứng minh rằng :$x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)$ với x, y > 0 Bài tập 5* . Chứng minh rằng :$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1$với $0\le a,b,c\le1$Bài tập 9* . Chứng minh rằng :$\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{1}{abc}$với a, b, c >...

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

5 tháng 7 2020

#Toán lớp 8

6

PN

Phan Nghĩa

5 tháng 7 2020

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :

$x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}$

$y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}$

Cộng vế với vế ta được :

$x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)$

Vậy ta có điều phải chứng mình

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

5 tháng 7 2020

Ta đi chứng minh:$a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0$* đúng *

Khi đó:

$\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}$

Tương tự:

$\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}$

$\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}$

ND

Nguyễn Đức Anh

17 tháng 11 2019

cho a,b,c>0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le16\left(a+b+c\right)$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{b+c}\right)^3}\le\frac{8}{9}$

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

17 tháng 11 2019

Lời giải:

Sửa đề: $\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}+\frac{1}{(b+c+\sqrt{2(b+a)})^3}+\frac{1}{(c+a+\sqrt{2(b+c)})^3}\leq \frac{8}{9}$

--------------------------

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a+b+\sqrt{2(a+c)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(a+c)}{2}}$

$\Rightarrow [a+b+\sqrt{2(a+c)}]^3\geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}\leq \frac{2}{27(a+b)(a+c)}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

$\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}(1)$

Lại theo BĐT AM-GM:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ac)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}=\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)(2)$

Và:

$16(a+b+c)\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}\geq \frac{3(a+b+c)}{ab+bc+ac}$

$\Rightarrow ab+bc+ac\geq \frac{3}{16}(3)$

Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{6(ab+bc+ac)}\leq \frac{1}{6.\frac{3}{16}}=\frac{8}{9}$ (đpcm)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

17 tháng 11 2019

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{4}$

KN

Khánh Ngọc

28 tháng 10 2019

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a.b.c=8

Chứng minh: $\frac{a^2}{\sqrt{\left(1+a^3\right).\left(1+b^3\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(1+b^3\right).\left(1+c^3\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(1+c^3\right).\left(1+a^3\right)}}\ge\frac{4}{3}$

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

3 tháng 11 2019

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\leq \left(\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2+2}{2}\right)^2$

$b^3+1\leq \left(\frac{b^2+2}{2}\right)^2$

$\Rightarrow \sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}\leq \frac{(a^2+2)(b^2+2)}{4}$

$\Rightarrow \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}\geq \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

$\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}}_{M}$

Ta cần CM $M\geq \frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\geq \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$

$\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (abc)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8$

$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2+b^2+c^2)\geq 72$

Điều này luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì: $\left\{\begin{matrix} a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3\sqrt[3]{(abc)^4}=3\sqrt[3]{8^4}=48\\ 2(a^2+b^2+c^2)\geq 6\sqrt[3]{(abc)^2}=6\sqrt[3]{8^2}=24\end{matrix}\right.$

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$